Nesta edição da Programar, não quisemos deixar de lado uma das linguagens mais usadas de todos os tempos.
A famosa linguagem C
E nesta edição comemorativa dos 10 anos da nossa revista, achamos que faria todo o sentido recordar um algoritmo, que em algum dia das nossas vidas, todos nós, programadores ouvimos falar… o não menos famoso que a própria linguagem C, o algoritmo de Dijkstra… e porque este algoritmo? Porquê este refere, o caminho do custo mínimo. E todos nós sabemos que a nossa revista já percorreu muitos caminhos até chegamos à edição 53.
Ora para os mais distraídos, e para os menos recordados, este algoritmo data do ano de 1956, tendo tido a sua primeira publicação em 1959. Foi criado por um matemático computacional holandês, Edsger Dijkstra. E trouxe uma solução que vários procuravam na altura, a solução para o problema do caminho mais curto num grafo dirigido.
Este algoritmo é muito útil para minimizar custos em várias áreas como por exemplo, na implementação de redes (por exemplos redes OSPF), ou no conhecido sistema GPS.
Em termos teóricos, o algoritmo é simples… Ora vejamos…
Num dado vértice (nó) no grafo, o algoritmo localiza o caminho com a menor custo (isto é, o caminho mais curto) entre esse vértice e todos os outros vértices, recorrendo ao peso/custo da aresta. Este sistema, pode também ser usado para encontrar custos de caminhos mais curtos a partir de um único vértice para um vértice de destino parando o algoritmo uma vez que o caminho mais curto para o vértice destino tiver sido determinado.
Voltando ao exemplo do GPS, se os vértices do grafo representarem cidades e os custos de caminho representarem distâncias entre as cidades ligadas por uma estrada directa, o algoritmo de Dijkstra pode ser usado para encontrar o caminho mais curto entre uma cidade e todas as outras cidades.
A nível de algoritmo temos o seguinte:
Seja G(V,A) um grafo orientado e s um vértice de G:
- Atribuir valor zero à estimativa do custo mínimo do vértice s (a raiz da busca) e infinito às restantes estimativas;
- Atribuir um valor qualquer aos precedentes (o precedente de um vértice t é o vértice que precede t no caminho de custo mínimo de s para t);
- Enquanto houver vértice aberto:
- Seja k um vértice ainda aberto cuja estimativa seja a menor dentre todos os vértices abertos;
- Feche o vértice k;
- Para todo vértice j ainda aberto que seja sucessor de k faça:
- Some a estimativa do vértice k com o custo do arco que une k a j;
- Caso esta soma seja melhor que a estimativa anterior para o vértice j, substituir e anotar k como precedente de j.
Passemos agora à parte da implementação em C.
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define FLSH gets(l)
/* definir variavies */
int destino, origem, vertices = 0;
int custo, *custos = NULL;
void dijkstra(int vertices,int origem,int destino,int *custos)
{
int i,v, cont = 0;
int *ant, *tmp;
int *z; /* vertices para os quais se conhece o caminho minimo */
double min;
double dist[vertices]; /* vetor com os custos dos caminhos */
/* aloca as linhas da matriz */
ant = calloc (vertices, sizeof(int *));
tmp = calloc (vertices, sizeof(int *));
if (ant == NULL) {
printf ("** Erro: Memoria Insuficiente **");
exit(-1);
}
z = calloc (vertices, sizeof(int *));
if (z == NULL) {
printf ("** Erro: Memoria Insuficiente **");
exit(-1);
}
for (i = 0; i < vertices; i++) {
if (custos[(origem - 1) * vertices + i] !=- 1) {
ant[i] = origem - 1;
dist[i] = custos[(origem-1)*vertices+i];
}
else {
ant[i]= -1;
dist[i] = HUGE_VAL;
}
z[i]=0;
}
z[origem-1] = 1;
dist[origem-1] = 0;
/* Ciclo principal */
do {
/* Encontra o vertice que deve entrar em z */
min = HUGE_VAL;
for (i=0;i<vertices;i++)
if (!z[i])
if (dist[i]>=0 && dist[i]<min) {
min=dist[i];v=i;
}
/* Calcula distancias dos novos vizinhos de z */
if (min != HUGE_VAL && v != destino - 1) {
z[v] = 1;
for (i = 0; i < vertices; i++)
if (!z[i]) {
if (custos[v*vertices+i] != -1 && dist[v] + custos[v*vertices+i] < dist[i]) {
dist[i] = dist[v] + custos[v*vertices+i];
ant[i] =v;
}
}
}
} while (v != destino - 1 && min != HUGE_VAL);
/* Mostra o Resultado da procura */
printf("\tDe %d para %d: \t", origem, destino);
if (min == HUGE_VAL) {
printf("Nao Existe\n");
printf("\tCusto: \t- \n");
}
else {
i = destino;
i = ant[i-1];
while (i != -1) {
// printf("<-%d",i+1);
tmp[cont] = i+1;
cont++;
i = ant[i];
}
for (i = cont; i > 0 ; i--) {
printf("%d -> ", tmp[i-1]);
}
printf("%d", destino);
printf("\n\tCusto: %d\n",(int) dist[destino-1]);
}
}
void cabecalho(void)
{
printf("Implementacao do Algoritmo de Dijasktra\n");
printf("Comandos:\n");
printf("\t d - Adicionar Grafo\n"
"\t r - Procura Os Menores Caminhos no Grafo\n"
"\t CTRL+C para Sair do programa\n");
printf("-------- ");
}
void add(void)
{
int i, j;
do {
printf("\nQual o numero de vertices (numero minimo = 2 ): ");
scanf("%d",&vertices);
} while (vertices < 2 );
if (!custos)
free(custos);
custos = (int *) malloc(sizeof(int)*vertices*vertices);
for (i = 0; i <= vertices * vertices; i++)
custos[i] = -1;
printf("Insira as arestas:\n");
do {
do {
printf("Origem da aresta (entre 1 e %d ou '0' para sair): ", vertices);
scanf("%d",&origem);
} while (origem < 0 || origem > vertices);
if (origem) {
do {
printf("Destino da aresta (entre 1 e %d, menos %d): ", vertices, origem);
scanf("%d", &destino);
} while (destino < 1 || destino > vertices || destino == origem);
do {
printf("Custo (positivo) da aresta do vertice %d para o vertice %d: ",
origem, destino);
scanf("%d",&custo);
} while (custo < 0);
custos[(origem-1) * vertices + destino - 1] = custo;
}
} while (origem);
}
void procurar(void)
{
int i, j;
/* Azul */
printf("Lista dos Menores Caminhos no Grafo Dado: \n");
for (i = 1; i <= vertices; i++) {
for (j = 1; j <= vertices; j++)
dijkstra(vertices, i,j, custos);
printf("\n");
}
printf("ENTER para voltar ao menu inicial>\n");
/* Volta cor normal */
printf("\033[m");
}
int main(int argc, char **argv) {
int i, j;
char opcao[3], l[50];
do {
cabecalho();
scanf("%s", &opcao);
if ((strcmp(opcao, "d")) == 0) {
add();
}
FLSH;
if ((strcmp(opcao, "r") == 0) && (vertices > 0) ) {
procurar();
FLSH;
}
} while (opcao != "x");
printf("\nOver & Out\n\n");
return 0;
}Quero recordar ao leitor que esta é apenas uma das várias maneiras e formas de implementar este algoritmo.